Quel est le pouvoir du nombre

• Raisons

Veuillez noter que cette section traite du concept de degré uniquement avec un indicateur naturel et zéro.

Le concept et les propriétés des degrés avec exposants rationnels (avec négatif et fractionnaire) seront abordés dans les cours de 8e année.

Alors, comprenons quelle est la puissance du nombre. Pour enregistrer plusieurs fois le produit du numéro sur lui-même, utilisez la notation abrégée.

Au lieu du produit de six facteurs identiques 4 · 4 · 4 · 4 · 4, ils écrivent 4 6 et disent «quatre au sixième degré».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

L’expression 4 6 est appelée la puissance du nombre, où:

• 4 - la base du diplôme;
• 6 - exposant.

En général, le degré avec la base «a» et l'index «n» est écrit en utilisant l'expression:

Le degré du nombre «a» avec l'indice naturel «n», supérieur à 1, est le produit des «n» facteurs égaux, chacun étant égal au nombre «a».

La notation "a n" se lit comme suit: "mais à la puissance de n" ou "la nième puissance du nombre a".

Les exceptions sont des enregistrements:

• un 2 - il peut être prononcé comme "un carré";
• un 3 - il peut être prononcé comme "mais dans un cube".

Bien sûr, les expressions ci-dessus peuvent être lues pour déterminer le degré:

• un 2 - “et au deuxième degré”;
• un 3 - "et au troisième degré."

Des cas particuliers se produisent lorsque l'exposant est égal à un ou à zéro (n = 1; n = 0).

Le degré du nombre "a" avec l'indice n = 1 est le nombre lui-même:
a 1 = a

Tout nombre dans le zéro degré est un.
un 0 = 1

Zéro dans n'importe quel degré naturel est zéro.
0 n = 0

L'unité à n'importe quel degré est égale à 1.
1 n = 1

L'expression 0 0 (zéro à zéro) est considérée comme dépourvue de sens.

Lors de la résolution d'exemples, il faut se rappeler que l'élévation à une puissance s'appelle rechercher une valeur numérique ou alphabétique après son élévation à une puissance.

Un exemple Élever au degré.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Augmenter un nombre négatif

La base du degré (un nombre élevé à une puissance) peut être n'importe quel nombre - positif, négatif ou nul.

En augmentant à une puissance d'un nombre positif, un nombre positif est obtenu.

Lors de la construction d'un degré naturel nul, un zéro est obtenu.

Lorsque vous élevez un nombre négatif à une puissance, le résultat peut être un nombre positif ou un nombre négatif. Cela dépend si l'exposant est impair ou impair.

Prenons des exemples d'élévation au pouvoir des nombres négatifs.

D'après les exemples considérés, il est clair que si un nombre négatif est élevé à un degré impair, alors un nombre négatif est obtenu. Étant donné que le produit d’un nombre impair de facteurs négatifs est négatif.

Si un nombre négatif est élevé à une puissance paire, alors un nombre positif est obtenu. Depuis le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif.

Un nombre négatif élevé à puissance égale est un nombre positif.

Un nombre négatif élevé à une puissance impaire est un nombre négatif.

Le carré de tout nombre est un nombre positif ou zéro, c'est-à-dire:

a 2 ≥ 0 pour tout a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Faites attention!

Lorsqu'ils résolvent des exemples d'exponentiation, ils commettent souvent des erreurs, en oubliant que les entrées (−5) 4 et −5 4 sont différentes expressions. Les résultats de l'exponentiation de ces expressions seront différents.

Calculer (−5) 4 signifie rechercher la valeur de la quatrième puissance d’un nombre négatif.

Si vous obtenez «−5 4», l’exemple doit être résolu en deux étapes:

1. Élever à la quatrième puissance un nombre positif 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Placez le signe moins devant le résultat (c'est-à-dire effectuez l'action de soustraction).
   −5 4 = −625

Un exemple Calculer: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. - (- 1) 4 = −1
5. −36 - 1 = −37

La procédure dans les exemples avec degrés

Le calcul de la valeur est appelé action d’exponentiation. C'est l'action de la troisième étape.

Dans les expressions avec des puissances ne contenant pas de parenthèses, ils exécutent d'abord un pouvoir, puis le multiplient et le divisent, puis ajoutent et soustraient.

S'il y a des crochets dans l'expression, effectuez d'abord les actions entre crochets, dans l'ordre indiqué ci-dessus, puis les actions restantes dans le même ordre, de gauche à droite.

Pour faciliter la solution des exemples, il est utile de connaître et d’utiliser le tableau des diplômes que vous pouvez télécharger gratuitement sur notre site Web.

Pour vérifier vos résultats, vous pouvez utiliser le calculateur de diplômes en ligne sur notre site Web.

Degré de nombre: définitions, désignation, exemples.

Dans cet article, nous comprendrons quel est le degré du nombre. Nous allons donner ici les définitions du degré d’un nombre, en examinant en détail tous les indicateurs possibles du degré, en commençant par l’indicateur naturel et en terminant par l’irrationnel. Vous trouverez dans le matériel de nombreux exemples de diplômes couvrant toutes les subtilités.

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Degré avec indicateur naturel, carré de nombre, cube de nombre

Pour commencer, nous donnerons une définition du degré d’un nombre avec un indice naturel. Pour l'avenir, nous disons que la définition du degré de a avec un indice naturel n est donnée pour un nombre réel a, que nous appellerons la base du degré, et un nombre naturel n, que nous appellerons l'exposant. Nous notons également que le degré d'indice naturel est déterminé par le produit, de sorte que pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Le degré de a avec un indice naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire.
En particulier, le degré d'un index 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire un 1 = a.

Il ressort clairement de cette définition qu’à l’aide d’un diplôme à indice naturel, on peut noter les travaux de plusieurs facteurs identiques. Par exemple, 8 · 8 · 8 · 8 peut être écrit en tant que degré 8 4. Ceci est analogue à la façon dont la somme de termes identiques est écrite à l'aide d'une œuvre, par exemple, 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (voir l'article idée générale de l'article sur la multiplication de nombres naturels).

Immédiatement, il faut dire à propos des règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire un enregistrement n est: “a à la puissance de n”. Dans certains cas, de telles variantes sont également admissibles: «a au nième degré» et «nième puissance du nombre a». Par exemple, prenons la 8 e année sur 12, il s’agit de «huit au pouvoir de douze» ou «huit au douzième pouvoir» ou «le douzième pouvoir de huit».

Le deuxième degré du nombre, ainsi que le troisième degré, ont leur propre nom. La deuxième puissance du nombre s'appelle le carré du nombre, par exemple, 7 2 se lit comme «sept carrés» ou «carré du nombre sept». La troisième puissance d'un nombre est appelée un cube d'un nombre, par exemple, 5 3 peut être lu comme "cinq dans un cube" ou dire "un cube du nombre 5".

Il est temps de donner des exemples de degrés avec des indicateurs naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple: la fraction décimale de 4,32 est la base et le nombre entier positif 9 est un exposant (4,32) 9.

Veuillez noter que dans le dernier exemple, la base du degré 4.32 est écrite entre parenthèses: pour éviter les divergences, nous prendrons toutes les bases du degré entre parenthèses différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels, leurs bases n'étant pas des nombres naturels, ils sont donc écrits entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté en ce moment, nous montrons la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L’expression (-2) 3 est le degré du nombre négatif -2 avec l’indice naturel 3, et l’expression −2 3 (il est possible d’écrire - - (2 3)) correspond au nombre opposé à la valeur du degré 2 3.

Notez qu'il existe une notation pour le degré de a avec l'indice n de la forme a ^ n. De plus, si n est un entier positif multivalué, l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4 ^ 9 est une autre entrée de degré 4 à 9. Voici quelques exemples supplémentaires de degrés d'enregistrement utilisant le symbole «^»: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Dans la suite, nous utiliserons principalement la notation pour le degré de la forme a n.

La définition ci-dessus permet de trouver la valeur du degré avec un indicateur naturel. Pour ce faire, calculez le produit de n facteurs égaux égaux à a. Ce sujet mérite une attention particulière dans un article séparé - voir l'exposé avec un indicateur naturel.

L’une des tâches, l’inverse de la construction avec un indicateur naturel, consiste à trouver la base d’un degré à partir d’une valeur connue d’un degré et d’un indicateur connu. Cette tâche conduit à la notion de racine à partir d'un nombre.

Il convient également d'explorer les propriétés d'un degré à indice naturel, qui découlent de cette définition du degré et des propriétés de la multiplication.

Degré avec entier

Une fois que nous avons déterminé le degré de a avec un indice naturel, nous souhaitons logiquement développer la notion de degré et passer au degré de nombre, dont tout nombre entier, y compris négatif et zéro, sera un indicateur. Cela devrait être fait de manière à ce que toutes les propriétés d'un degré avec un index naturel restent valables, car les nombres naturels font partie d'entiers.

Le degré de a avec un entier positif n'est rien de plus que la puissance de a avec un exposant naturel :, où n est un entier positif.

Nous définissons maintenant la puissance nulle de a. Partons de la propriété des puissances partielles de même base: pour les nombres naturels m et n, m m: a n = a m - n (la condition a ≠ 0 est nécessaire, car sinon nous aurions une division par zéro). Pour m = n, l’égalité écrite conduit au résultat suivant: a n: a n = a n - n = a 0. Mais d'autre part, a n: a n = 1 sous la forme d'un quotient de nombres égaux a n et a n. Par conséquent, nous devons accepter un 0 = 1 pour tout nombre réel non nul a.

Mais qu'en est-il de zéro à zéro degré? L'approche utilisée dans le paragraphe précédent ne convient pas à ce cas. On peut rappeler la propriété du produit des degrés de même base a m · n = a m + n, en particulier lorsque n = 0, on a m · a 0 = a m (cette égalité montre également que a 0 = 1). Cependant, pour a = 0, nous obtenons l’égalité 0 m. 0 0 = 0 m, qui peut être réécrite sous la forme 0 = 0, cela est vrai pour tout m naturel, quelle que soit la valeur de l’expression 0 0. En d'autres termes, 0 0 peut être égal à n'importe quel nombre. Pour éviter cette ambiguïté, nous n'affecterons aucun sens à la puissance de zéro (pour les mêmes raisons, lors de l'étude de la division, nous n'avons pas donné de sens à l'expression 0: 0).

Il est facile de vérifier que notre égalité a 0 = 1 pour des nombres non nuls a est cohérente avec la propriété de degré à degré (a m) n = a m · n. En effet, pour n = 0, nous avons (a m) 0 = 1 et a m · 0 = a 0 = 1 et pour m = 0 nous avons (a 0) n = 1 n = 1 et a 0.n = a 0 = 1.

Nous sommes donc arrivés à la définition d'un degré avec un indicateur zéro. Le degré d'un exposant avec zéro (un nombre réel non nul) est égal à un, c'est-à-dire un 0 = 1 pour un ≠ 0.

Donnons des exemples: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 et 0 0 n'est pas défini.

Le degré zéro du nombre a étant déterminé, il reste à déterminer le degré négatif entier du nombre a. Cela nous aidera tous à avoir la même propriété du produit de degrés avec les mêmes bases a m · n = a m + n. Nous prenons m = −n, ce qui nécessite la condition a ≠ 0, puis a −n · un n = un + n = un 0 = 1, d'où nous concluons que un n et un −n sont des nombres réciproquement inverses. Ainsi, il est logique de définir le nombre a comme entier négatif degré-n sous forme de fraction. Il est facile de vérifier qu'avec une telle tâche, le degré d'un nombre non nul a avec un exposant négatif entier toutes les propriétés d'un degré avec un exposant naturel (voir les propriétés d'un exposant avec un exposant entier) est vrai, c'est ce que nous recherchions.

Sonnons la définition d'un degré avec un indice entier négatif. Le degré de a avec un entier négatif −n (un nombre réel non nul) est une fraction, c'est-à-dire avec un ≠ 0 et un entier positif n.

Considérez cette définition d'un degré avec un entier négatif sur des exemples spécifiques:

Résumez les informations de cet élément.

Le degré de a avec un entier z est défini comme suit:

Degré avec indicateur rationnel

Parmi les exposants entiers du nombre a, le passage à un indicateur rationnel se suggère. Ci-dessous, nous définissons un degré avec un indicateur rationnel et nous le ferons de manière à préserver toutes les propriétés du degré avec l'indicateur entier. Cela est nécessaire car les entiers font partie de nombres rationnels.

On sait que l’ensemble des nombres rationnels est composé d’entiers et de nombres fractionnaires, et chaque nombre fractionnaire peut être représenté par une fraction ordinaire positive ou négative. Nous avons défini le degré avec exposant entier dans le paragraphe précédent. Par conséquent, pour compléter la définition de exposant avec exposant rationnel, nous devons donner une signification au degré de a avec exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire. Afin de maintenir le pouvoir de la propriété d'un degré à un degré, l'égalité doit être remplie. Si nous tenons compte de l'égalité obtenue et de la manière dont nous avons déterminé la racine du nième degré, il est logique d'accepter, à condition que pour m, n et a, l'expression a un sens.

Il est facile de vérifier que toutes les propriétés d'un degré avec un indicateur entier sont valides (ceci est fait dans la section sur les propriétés d'un degré avec un indicateur rationnel).

Le raisonnement ci-dessus permet de tirer la conclusion suivante: si, pour m, n et a, l'expression a un sens, le degré de a avec un indice fractionnaire m / n est la racine du nième degré de a à degré m.

Cette déclaration nous amène de près à la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu’à écrire, pour lequel m, n et a une expression logique. En fonction des contraintes imposées à m, n et a, il existe deux approches fondamentales.

Il est plus facile d’imposer une restriction à a, en prenant a≥0 pour m positif et a> 0 pour m négatif (puisque pour m≤0, le degré 0 m n’est pas défini). Ensuite, nous obtenons la définition suivante d'un degré avec un exposant fractionnaire.

Le degré d'un nombre positif a avec un indice fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un entier positif, est appelé la nième racine de a de la puissance de m, c'est-à-dire.

Le degré fractionnaire de zéro est également déterminé avec la seule réserve que l'indicateur devrait être positif.

Le degré zéro avec un indice positif fractionnaire m / n, où m est un entier positif et n est un entier positif, est défini par.
Lorsque le degré n'est pas déterminé, le degré zéro avec un indicateur fractionnaire négatif n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec une telle définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance: pour certains négatifs a et certains m et n, l'expression a un sens et nous avons écarté ces cas en entrant la condition a≥0. Par exemple, il est logique d’écrire ou, et la définition donnée ci-dessus nous amène à dire que les degrés avec un indice fractionnaire d’une espèce n’ont pas de sens, car la base ne devrait pas être négative.

Une autre approche pour déterminer un degré avec une fraction m / n consiste à examiner séparément les indices de racines paires et impairs. Cette approche nécessite une condition supplémentaire: le degré du nombre a, dont l'indicateur est une fraction réduite, est considéré comme le degré du nombre a, l'indicateur duquel est la fraction irréductible correspondante (nous expliquerons l'importance de cette condition juste en dessous). Autrement dit, si m / n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est remplacé par.

Pour n pair et m positif, l'expression a un sens pour tout a non négatif (la racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit également être non nul (sinon diviser par zéro). Pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est déterminée pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition d'un degré avec un exposant fractionnaire.

Soit m / n une fraction irréductible, m un entier et n un entier positif. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par. Le degré de a avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour

• tout nombre réel a, un entier positif m et un entier positif impair n, par exemple;
• tout nombre réel non nul a, tout un m négatif et un n impair, par exemple;
• tout nombre non négatif a, entier positif m et même n, par exemple;
• tout positif a, entier négatif m et même n, par exemple;
• dans d'autres cas, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas défini, par exemple, les degrés ne sont pas définis.

Nous expliquons pourquoi un degré avec un exposant fractionnaire annulable est préalablement remplacé par un exposant avec un exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme si nous n'avions pas formulé de réserve quant à l'irréductibilité de la fraction m / n, nous nous retrouverions dans des situations telles que: puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit prévaloir, mais, a.

Notez que la première définition d'un degré avec un index fractionnaire est plus facile à utiliser que la seconde. Par conséquent, nous allons l'utiliser à l'avenir.

le degré d'un nombre positif a avec un indice fractionnaire m / n défini comme, pour les enregistrements négatifs, nous n'attachons aucune signification, le degré du nombre zéro est déterminé pour les indicateurs fractionnaires positifs m / n, tandis que, pour les indicateurs fractionnaires négatifs, le degré de nombre zéro n'est pas déterminé.

En conclusion de ce paragraphe, nous attirons l'attention sur le fait que l'exposant fractionnaire peut être écrit sous la forme d'une fraction décimale ou d'un nombre mixte, par exemple. Pour calculer les valeurs d'expressions de ce type, vous devez écrire l'exposant sous la forme d'une fraction ordinaire, puis utiliser la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples indiqués, nous avons et.

Diplôme avec un indicateur irrationnel et valide

On sait que l’ensemble des nombres réels peut être considéré comme l’union des ensembles de nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, un degré avec un indicateur valide peut être considéré comme défini lorsqu'un degré avec un indicateur rationnel et un degré avec un indicateur irrationnel sont déterminés. Nous avons parlé du degré avec un indicateur rationnel dans le paragraphe précédent, il reste à traiter avec le degré avec un indicateur irrationnel.

Le concept du degré d'un indice irrationnel sera abordé progressivement.

Soit une suite d'approximations décimales d'un nombre irrationnel. Par exemple, prenez un nombre irrationnel, vous pourrez alors accepter, ou, etc. Il est à noter que les chiffres sont rationnels.

La séquence des nombres rationnels correspond à une séquence de degrés et nous pouvons calculer les valeurs de ces degrés sur la base du matériau de l'article qui s'élève à un degré rationnel. Par exemple, prenons a = 3, et ensuite, et après avoir augmenté à une puissance, nous obtenons.

Enfin, la séquence converge vers un certain nombre, qui est la valeur de la puissance de a avec un exposant irrationnel. Revenons à notre exemple: un degré avec un indicateur irrationnel de la forme converge vers un nombre égal à 6,27 avec une précision d'un centième.

Le degré d'un nombre positif a d'indice irrationnel est une expression dont la valeur est égale à la limite de la séquence, où sont des approximations décimales consécutives du nombre irrationnel.

Le degré du nombre zéro est déterminé pour les indicateurs irrationnels positifs, avec cela. Par exemple, Et le degré du nombre 0 avec un indicateur irrationnel négatif n'est pas déterminé, par exemple, n'est pas défini.

Séparément, il faut dire à propos du degré irrationnel de l'unité - l'unité dans n'importe quel degré irrationnel est égale à 1. Par exemple, et.

Racines et degrés

Degré

Le degré est une expression de la forme:, où:

• - la base du diplôme;
• - exposant.

Degré avec indicateur naturel

Nous définissons le concept d'un degré dont l'indice est un nombre naturel (c'est-à-dire un entier et un positif).

1. Par définition:
2. Carrer un nombre, c'est le multiplier par lui-même:
3. Construire un nombre dans un cube signifie le multiplier par lui-même trois fois:

Augmenter un nombre au degré naturel signifie multiplier le nombre par lui-même:

Degré avec entier

Si l'exposant est un entier positif:

, n> 0

Altitude à zéro degré:

, a 0

Si l'exposant est un entier négatif:

, a 0

Remarque: l'expression n'est pas définie, dans le cas où n ≤ 0. Si n> 0, alors

Degré avec indicateur rationnel

• a> 0;
• n est un nombre naturel;
• m est un entier;

Propriétés des degrés

Racine

Racine carrée arithmétique

L'équation a deux solutions: x = 2 et x = -2. Ce sont des nombres dont le carré est 4.

Considérons l'équation. Faisons un graphique de la fonction et voyons que cette équation a aussi deux solutions, l'une positive, l'autre négative.

Mais dans ce cas, les solutions ne sont pas des entiers. De plus, ils ne sont pas rationnels. Afin d'écrire ces décisions irrationnelles, nous introduisons un caractère spécial de racine carrée.

La racine carrée arithmétique est un nombre non négatif dont le carré est un ≥ 0. Quand un

Le degré et ses propriétés. Détermination du degré

Sections: Mathématiques

Familiariser les étudiants avec les indicateurs naturels avec les propriétés des diplômes et apprendre à effectuer des actions avec des diplômes.

Le sujet "Le diplôme et ses propriétés" comprend trois questions:

• Détermination du degré avec un indicateur naturel.
• Multiplication et partage des pouvoirs.
• Augmenter le degré du produit et le degré.

Formulez une définition d'un degré dont l'indice naturel est supérieur à 1. Donnez un exemple.

Formulez la définition d'un diplôme avec l'indicateur 1. Donnez un exemple.

Quel est l'ordre des actions lors du calcul de la valeur d'une expression contenant un degré?

Formuler la propriété de base d'un diplôme. Donnez un exemple.

Formule la règle de la multiplication des degrés avec les mêmes bases. Donnez un exemple.

Formulez la règle de la division des degrés avec les mêmes bases. Donnez un exemple.

Formuler une règle pour le degré de travail. Donnez un exemple. Prouver l'identité (ab) n = a n • b n.

Formuler une règle d’exponentiation des degrés. Donnez un exemple. Prouver l'identité (a m) n = a m n.

Le degré de a avec un indice naturel n supérieur à 1 est le produit de n facteurs dont chacun est a. Le degré d'un index 1 est le nombre lui-même.

Le degré avec base a et index n s'écrit comme suit: a n. Lire «a à la puissance de n»; “Nième puissance d'un”.

Par définition, un diplôme:

Trouver une valeur en degrés s'appelle une exponentiation.

1. Exemples d’exponentiation:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Imaginez sous la forme d'un carré: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Présenter sous forme de cube les nombres:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Trouvez les valeurs des expressions:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Écrire le travail en tant que diplôme:

c) bbbbbbbbbb

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Présenter sous la forme d'un carré:

3. Présenter sous forme de cube les nombres:

4. Trouvez les valeurs des expressions:

Pour tout nombre a et tout nombre arbitraire m et n:

a m a n = a m + n.

Règle: lors de la multiplication de degrés avec les mêmes bases, les bases restent inchangées et les exposants sont additionnés.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Présenter comme diplôme:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Présenter sous forme de degré et trouver la valeur dans le tableau:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Présenter comme diplôme:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Présenter sous forme de degré et trouver la valeur dans le tableau:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Pour tout nombre a 0 et entiers positifs arbitraires m et n, tels que m> n est vrai:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

par définition privé:

a m: a n = a m - n.

Règle: lors de la division de degrés avec les mêmes bases, la base reste la même et le degré diviseur est soustrait de l'exposant.

Définition: Le degré d'un différent de zéro, avec un exposant égal à un:

Numéros Le degré du nombre.

C'est un fait bien connu que la multiplication permet de trouver la somme de plusieurs composantes égales. Par exemple: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Une telle expression est dite être la somme de composantes égales transformées en un produit. Et inversement, si nous lisons cette égalité de droite à gauche, nous comprenons que nous avons élargi la somme des termes égaux. De même, on peut réduire le produit de plusieurs facteurs égaux 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

C'est-à-dire qu'au lieu de multiplier six facteurs identiques de 5x5x5x5x5x5, ils écrivent 5 6 et disent «cinq au sixième degré».

L'expression 5 6 est la puissance du nombre, où:

5 - la base du diplôme;

6 - exposant.

Les actions par lesquelles le produit de facteurs égaux est minimisé à une puissance sont appelées exponentiation.

En général, le degré avec la base "a" et l'index "n" est écrit comme

Élever le nombre a à la puissance de n signifie trouver le produit de n facteurs, chacun étant un

Si la base du degré «a» est 1, la valeur du degré pour tout n naturel est 1. Par exemple, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Si nous élevons le nombre «a» au premier degré, nous obtenons le nombre a lui-même: a 1 = a

Si nous élevons un nombre au zéro degré, nous en obtenons un à la suite des calculs. un 0 = 1

Spécial considèrent les numéros de deuxième et troisième degré. Pour eux est venu avec le nom: le deuxième degré est appelé le carré du nombre, le troisième - le cube de ce nombre.

N'importe quel nombre peut être élevé à une puissance - positive, négative ou nulle. Il n'utilise pas les règles suivantes:

-en trouvant le degré d'un nombre positif, on obtient un nombre positif.

-en calculant zéro dans le degré naturel, on obtient zéro.

- lors du calcul du degré d'un nombre négatif, le résultat peut être à la fois un nombre positif et un nombre négatif. Cela dépend si l'exposant est impair ou impair.

Si nous résolvons quelques exemples de calcul du degré de nombre négatif, il s'avère que si nous calculons un degré impair de nombre négatif, le résultat sera un nombre avec un signe moins. Puisque, en multipliant le nombre impair de facteurs négatifs, nous obtenons une valeur négative.

Si nous calculons un degré pair pour un nombre négatif, le résultat sera un nombre positif. Puisque, en multipliant un nombre pair de facteurs négatifs, nous obtenons une valeur positive.

Degré de propriétés avec un indicateur naturel.

Pour multiplier les degrés avec les mêmes bases, nous ne changeons pas les bases et ajoutons les exposants des degrés:

par exemple: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Afin de séparer les degrés avec les mêmes bases, nous ne changeons pas la base, mais soustrayons les exposants:

par exemple: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Lors du calcul de l'exponentiation en degrés, nous ne changeons pas la base et ne multiplions les exposants des degrés.

par exemple: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

S'il est nécessaire de calculer l'érection au degré du produit, chaque facteur est élevé à ce degré.

par exemple: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Lorsque vous effectuez des calculs sur la construction d'une fraction, nous élevons le numérateur et le dénominateur de la fraction à ce pouvoir.

par exemple: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

La séquence de calculs lorsque vous travaillez avec des expressions contenant un degré.

Lorsque vous effectuez des calculs, les expressions sans parenthèses, mais contenant des degrés, effectuent tout d'abord une exponentiation, puis multiplient et divisent des actions, pour ensuite seulement ajouter et soustraire des opérations.

S'il est nécessaire de calculer une expression contenant des parenthèses, alors tout d'abord dans l'ordre indiqué ci-dessus, nous effectuons des calculs entre parenthèses, puis les actions restantes dans le même ordre de gauche à droite.

Très largement dans les calculs pratiques pour la simplification des calculs utilisent des tableaux de degrés prêts.

Explique comment trouver la puissance d'un nombre

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19kot

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Nadirka212

La chose la plus raisonnable est de décomposer un nombre en facteurs premiers, vous pouvez alors trouver à la fois la base et l’exposant.
Si la base est connue, alors l'indicateur peut être trouvé par logarithme, par exemple,
2 ^ x = 8
Pour trouver x, vous devez compter les deux parties de la base 2
x = connexion en base 2 de 8 = ln 8 / ln 2 (ceci peut être calculé sur la calculatrice) = 3
Si l'indicateur est connu, la base est trouvée en extrayant la racine, par exemple,
x ^ 3 = 8
extraire la racine cubique des deux parties
x = racine cubique de 8 = 2

Si aucun des deux ne connaît l'un ou l'autre, décomposez un nombre en facteurs premiers, en divisant le nombre en facteurs premiers.
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 n'est pas divisible par 2, par 3, par 5 (itérer successivement sur les nombres premiers)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Total nous divisé par 2 huit fois et 7 quatre fois, donc
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Si nous voulons trouver une représentation sous la forme a ^ b avec a naturel et que b et b doivent être maximaux, alors comme b, nous devons prendre le PGCD des degrés obtenus dans la décomposition en facteurs premiers, c’est-à-dire que b = PGCD (8.4) = 4
la base du degré a sera 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Le degré et ses propriétés. Le niveau initial

Le degré est une expression de la forme:, où:

Degré avec entier

dont le degré est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Degré avec indicateur rationnel

le degré dont sont des nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec un exposant irrationnel

degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des degrés

Caractéristiques des degrés.

• Un nombre négatif élevé à puissance égale est un nombre positif.
• Un nombre négatif élevé à une puissance impaire est un nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quel degré.
• Tout nombre est égal à zéro degré.

Quel est le pouvoir du nombre?

L'exponentiation est la même opération mathématique que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain avec des exemples très simples. Sois attentif Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout: nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien coûte le cola? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant, multiplie.

Le même exemple avec Coke peut être écrit différemment: Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord des motifs, puis trouvent un moyen de les «compter» rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avaient le même nombre de bouteilles de cola et avaient mis au point un dispositif appelé multiplication. Admettez que cela est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Voici la table de multiplication. Répétez.
Donc, pour compter plus rapidement, plus facilement et sans erreurs, il vous suffit de vous souvenir de la table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficile et avec des erreurs! Mais...

Voici la table de multiplication. Répétez.

Et une autre, plus belle:

Quelles autres astuces astucieuses du compte ont été inventées par des mathématiciens paresseux? Correctement - l'introduction du nombre dans le degré.

Augmenter un nombre à un pouvoir.

Si vous devez multiplier le nombre par cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre au cinquième degré. Par exemple, Les mathématiciens se rappellent que deux au cinquième degré est la suivante. Et résolvez de tels casse-tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreur.

Pour ce faire, rappelez-vous ce qui est mis en surbrillance en couleur dans le tableau des degrés de nombre. Croyez-moi, cela vous facilitera la vie.

À propos, pourquoi le deuxième degré est-il appelé le carré d'un nombre et le troisième - le cube? Qu'est ce que cela signifie? Très bonne question. Maintenant, vous aurez des carrés et des cubes.

Un exemple de la vie de №1.

Commençons par un carré ou un second degré.

Imaginez une piscine carrée mesurant mètres par mètres. La piscine est dans votre datcha. Chaleur et envie de nager. Mais... une piscine sans fond! Il est nécessaire de poser le fond des dalles de la piscine. De combien de tuiles avez-vous besoin? Afin de déterminer cela, vous devez connaître la zone située au fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter, en tapotant du doigt, que le fond de la piscine est constitué de cubes de mètre par mètre. Si vous avez un carreau mètre par mètre, vous aurez besoin de morceaux. C'est facile... Mais où as-tu vu une telle tuile? La tuile sera plus susceptible de voir cm et ensuite vous serez tourmenté par le «doigt». Ensuite, vous devez vous multiplier. Ainsi, d’un côté du fond de la piscine, nous poserons des dalles et de l’autre des dalles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que pour déterminer la superficie du fond de la piscine, nous avons multiplié le même nombre par lui-même? Qu'est ce que cela signifie? Une fois le même nombre multiplié, on peut utiliser la technique de «l'exponentiation». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous les multipliez ou les élevez à un pouvoir. Mais si vous en avez beaucoup, il est beaucoup plus simple de les élever à un pouvoir et les erreurs de calcul sont également moins importantes. C'est très important pour l'examen d'État unifié)
Donc, trente au deuxième degré sera (). Ou vous pouvez dire que trente carrés seront. En d'autres termes, le deuxième degré d'un nombre peut toujours être représenté par un carré. À l'inverse, si vous voyez un carré, il s'agit TOUJOURS de la deuxième puissance d'un certain nombre. Un carré est une image au deuxième degré d'un nombre.

Un exemple de la vie de №2.

Voici une tâche pour vous, calculer combien de carrés sur un échiquier à l’aide d’un carré de nombre. D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour calculer leur nombre, vous avez besoin de huit fois huit ou... Si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, vous pouvez construire huit carrés. Obtenez une cellule. () Alors?

Un exemple de la vie du numéro 3.

Maintenant, le cube ou la troisième puissance d'un nombre. Même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir combien d’eau vous devez verser dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Les volumes et les liquides, en passant, sont mesurés en mètres cubes. De façon inattendue, non?) Dessinez une piscine: le fond mesure 1 mètre de profondeur et 1 mètre de profondeur et essayez de calculer combien de mètres cubes par mètre entrent dans votre piscine.

Il suffit de pointer le doigt et de compter! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien cela s'est-il passé? Pas outta Est-ce difficile de compter avec un doigt? C'est ça! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux. Ils ont donc remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il fallait multiplier les longueurs, les largeurs et les hauteurs. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à celui des cubes... Est-ce plus facile, non?

Et maintenant, imaginez à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés, s’ils le simplifient aussi. Tout apporté à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur étaient égales et que le même nombre était multiplié par lui-même... Et qu'est-ce que cela signifie? Cela signifie que vous pouvez utiliser le degré. Donc, ce que vous avez déjà compté comme un doigt, ils le font en une seule action: trois dans un cube sont égaux. Il est écrit comme suit:

Il ne reste plus qu'à retenir le tableau des degrés. Bien sûr, vous êtes aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour vous convaincre enfin que les diplômes ont été inventés par les démissionnaires et les trompeurs pour résoudre leurs problèmes de la vie, et non dans le but de vous créer des problèmes, voici quelques exemples supplémentaires issus de la vie.

Un exemple de la vie de №4.

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez chaque million un million. Autrement dit, chacun de vos millions au début de chaque année est doublé. Combien d'argent aurez-vous dans les années? Si vous êtes assis et que vous "comptez votre doigt", vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais il est fort probable que vous donniez une réponse dans quelques secondes, car vous êtes intelligent! Donc, la première année - deux fois deux... la deuxième année - que s'est-il passé, deux autres années, la troisième année... Stop! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc, deux au cinquième degré - un million! Imaginez maintenant que vous avez un concours et que ceux qui reçoivent le million seront plus rapides à calculer... Il est bon de se rappeler les degrés des chiffres, comment pensez-vous?

Un exemple tiré de la vie numéro 5.

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez un million deux de plus. Wow, vraiment? Chaque million de triples. Combien d'argent aurez-vous dans une année? Comptons. La première année consiste à multiplier, puis le résultat est encore à... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris: trois fois, cela se multiplie tout seul. Donc, au quatrième degré est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois au quatrième degré est ou.

Vous savez maintenant que, avec l’aide d’élever un nombre à une puissance, vous faciliterez grandement votre vie. Voyons plus loin ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts.

Commençons donc par définir les concepts. Que pensez-vous de l'exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est «au sommet» de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais compréhensible et facile à retenir...

Donc, en même temps, quelle est la base du diplôme? Encore plus simple est le nombre en bas, en bas.

Voici une photo pour votre fidélité.

Eh bien, en général, pour résumer et mieux vous souvenir... Le degré avec la base " et l'indicateur " est lu comme "au degré" et s'écrit comme suit:

De plus, pourquoi dire "le nombre de chiffres avec un indicateur naturel"?

"Le degré de nombre avec un indicateur naturel"

Vous avez probablement déjà deviné: parce que l'exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce qu'un nombre naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés dans le compte pour répertorier les éléments: un, deux, trois... Lorsque nous comptons les éléments, nous ne disons pas: "moins cinq", "moins six", "moins sept". Nous ne disons pas non plus: «un tiers» ou «zéro point, cinq dixièmes». Ce ne sont pas des nombres naturels. Et quels sont ces chiffres comme vous le pensez?

Les nombres tels que "moins cinq", "moins six", "moins sept" se réfèrent à des nombres entiers. Généralement, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Et que signifient les nombres négatifs ("négatifs")? Mais ils ont d'abord été inventés pour désigner des dettes: si vous avez une balance au téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Les fractions de toutes sortes sont des nombres rationnels. Comment sont-ils venus, qu'en pensez-vous? Très simple Il y a des milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la surface, etc. Et ils ont trouvé des nombres rationnels... Intéressant, non?

Il y a encore des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres? En bref, décimal infini. Par exemple, si la circonférence est divisée par son diamètre, un nombre irrationnel est obtenu.

En résumé:

• Les nombres naturels sont les nombres utilisés pour compter, c'est-à-dire, etc.
• Entier - tous les nombres naturels, les nombres naturels avec un moins et le nombre 0.
• Les nombres fractionnaires sont considérés comme rationnels.
• Les nombres irrationnels sont des décimales infinies

Degré avec indicateur naturel

Définissons la notion de degré dont l’indice est un nombre naturel (c’est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre du premier degré est égal à lui-même:
2. Carrer un nombre, c'est le multiplier par lui-même:
3. Construire un nombre dans un cube signifie le multiplier par trois fois:

La définition Augmenter un nombre au degré naturel signifie multiplier le nombre par lui-même:
.

Degré de numéro: définitions, désignation, exemples

Dans le cadre de ce matériau, nous analysons quel est le degré du nombre. En plus des définitions de base, nous formulons un degré avec des indicateurs naturels, globaux, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés avec des exemples de tâches.

Degrés avec des exposants naturels: la notion de carré et de cube de nombre

Tout d'abord, nous formulons une définition de base d'un diplôme avec un indice naturel. Pour cela, nous devons rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons d’avance qu’en tant que base, nous prendrons pour l’instant un nombre réel (indiqué par la lettre a) et, à titre d’indicateur, un nombre naturel (indiqué par la lettre n).

Le degré de a avec un indice naturel n est le produit du n-ième nombre de facteurs, chacun étant égal au nombre a. Le degré est écrit comme ceci: a n, et sous la forme d’une formule, sa composition peut être représentée comme suit:

Par exemple, si l'exposant est 1 et la base est a, le premier pouvoir de a est écrit sous la forme d'un 1. Considérant que a est la valeur d'un multiplicateur et 1 le nombre de multiplicateurs, nous pouvons en conclure qu'un 1 = a.

En général, on peut dire que le degré est une forme commode d’enregistrer un grand nombre de facteurs égaux. Ainsi, le type d'enregistrement 8 · 8 · 8 · 8 peut être réduit à 8 4. À peu près le même travail permet d'éviter d'écrire un grand nombre de termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); nous l'avons déjà analysé dans l'article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire le procès-verbal du diplôme? L'option généralement acceptée est "a à la puissance de n". Ou vous pouvez dire "n-ème degré un" ou "un n-ème degré". Si, par exemple, dans l'exemple que nous avons rencontré le record 8 12, nous pouvons lire «8 au 12e degré», «8 au degré 12» ou «du 12e degré au 8e».

Les deuxième et troisième degrés ont leur nom bien établi: carré et cube. Si nous voyons un deuxième degré, par exemple le nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire "7 carrés" ou "carré du nombre 7". De même, le troisième degré se lit comme suit: 5 3 est le "cube du nombre 5" ou "5 dans le cube". Cependant, il est également possible d'utiliser la formulation standard «au deuxième / troisième degré», ce ne sera pas une erreur.

Examinons un exemple de degré avec un indicateur naturel: pour 5 7, le cinq sera la base et le sept - l’indicateur.

La base ne doit pas nécessairement être un entier: pour le degré (4, 32) 9, la base sera une fraction de 4, 32 et l'indicateur sera neuf. Faites attention aux parenthèses: une telle entrée est faite pour tous les degrés dont les bases sont différentes des nombres naturels.

Par exemple: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

A quoi servent les crochets? Ils aident à éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées: (- 2) 3 et - 2 3. Le premier signifie un nombre négatif moins deux, élevé à une puissance avec un indice naturel de trois; le second est le numéro correspondant à la valeur opposée du degré 2 3.

Parfois, dans les livres, on peut trouver une orthographe légèrement différente de la puissance d’un nombre - a ^ n (où a est la base et n l’indicateur). C'est-à-dire que 4 ^ 9 est identique à 4 9. Si n est un nombre à plusieurs valeurs, il est pris entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Mais nous utiliserons la notation a n comme plus courante.

Comment calculer la valeur d'un degré avec un indice naturel est facile à deviner à partir de sa définition: il vous suffit de multiplier un nombre n de fois. Plus à ce sujet, nous avons écrit dans un autre article.

Le concept de degré est l'opposé d'un autre concept mathématique - la racine d'un nombre. Si nous connaissons la valeur du degré et de l'exposant, nous pouvons en calculer la base. Le degré possède des propriétés spécifiques utiles pour résoudre des problèmes que nous avons démontés dans un matériau séparé.

Qu'est-ce qu'un diplôme avec un indicateur entier?

En termes de degrés, il peut y avoir non seulement des nombres naturels, mais en général toutes les valeurs entières, y compris les valeurs négatives et les zéros, car elles appartiennent également à l'ensemble des entiers.

Le degré d'un nombre avec un entier positif peut être affiché sous forme de formule:

De plus, n est un entier positif.

Nous comprendrons le concept de zéro degré. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du particulier pour les pouvoirs avec des bases égales. Il est formulé comme suit:

L'égalité a m: a n = a m - n est vraie dans les conditions suivantes: m et n sont des nombres naturels, m n, a ≠ 0.

Cette dernière condition est importante car elle évite la division par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, on obtient le résultat suivant: a n: a n = a n - n = a 0

Mais en même temps, a n: a n = 1 est le quotient de nombres égaux a n et a. Il s'avère que la puissance nulle de tout nombre non nul est un.

Cependant, cette preuve ne s'applique pas à zéro à zéro degré. Pour cela, nous avons besoin d'une autre propriété de degrés - une propriété de produits de degrés avec des bases égales. Cela ressemble à ceci: a m · n = a m + n.

Si n est 0, alors m · a 0 = a m (cette égalité nous prouve également que a 0 = 1). Mais si et aussi est égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m · 0 0 = 0 m, ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe la valeur de la valeur du degré est 0 0, c’est-à-dire qu’elle peut être égale à n’importe quel nombre et cela n'affectera pas la loyauté de l'égalité. Par conséquent, un enregistrement de la forme 0 0 n’a pas de signification particulière et nous ne l’attribuerons pas.

Si vous le souhaitez, il est facile de vérifier que a 0 = 1 converge avec la propriété de degré (a m) n = a m · n, à condition que la base du degré soit non nulle. Ainsi, le nombre de tout nombre non nul avec un exposant égal à zéro est égal à un.

Examinons un exemple concret: Ainsi, 5 0 est une unité, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1 et la valeur 0 0 n’est pas définie.

Après le zéro degré, il nous reste à déterminer quel est le degré négatif. Pour cela, nous avons besoin de la même propriété du produit des degrés de base égale, que nous avons déjà utilisée ci-dessus: a m · n = a m + n.

Nous introduisons la condition: m = - n, alors a ne devrait pas être nul. Il en résulte que a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Il s'avère que a n et a - n sont des nombres réciproquement inverses.

En conséquence, a dans l'ensemble du degré négatif n'est autre que la fraction 1 à n.

Une telle formulation confirme que pour un degré d'indice négatif entier, toutes les propriétés d'un degré d'indice naturel (à condition que la base ne soit pas nulle) sont valables.

Le degré de a avec un entier négatif n peut être représenté par une fraction 1 à n. Ainsi, a - n = 1 et n sous la condition a ≠ 0 et n est un entier positif.

Nous illustrons notre pensée avec des exemples concrets:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire tout ce qui est dit clairement dans une formule:

Le degré de a avec un indice naturel z est: az = az, e avec l et z est le nombre entier de a l et z est 0 et z = 0 et a ≠ 0, (p p p et z = 0 et a = 0 p o l o u c s s 0 0, ce qui signifie a v o r a c io 0 0 n e O p e f eld i s 1) 1 z, e s c et z est un cel té r c t a t a l a n o h est un l o a ≠ 0 ( e sl et z - est le nombre entier de la série et a = 0 indéfiniment avec i 0 z, ego environ N ote o p o d ia c s i)

Qu'est-ce qu'un exposant rationnel?

Nous avons traité des cas où un entier est dans l'exposant. Cependant, il est possible d'élever un nombre à une puissance même lorsqu'un nombre fractionnaire est dans son index. Ceci est appelé un exposant rationnel. À ce stade, nous prouvons qu'il a les mêmes propriétés que les autres degrés.

Que sont les nombres rationnels? Leur ensemble comprend des nombres entiers et fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés sous forme de fractions ordinaires (positives et négatives). Nous formulons la définition du degré de a avec un exposant fractionnaire m / n, où n est un entier positif et m est un entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n. Pour que la propriété degré à degré soit vérifiée, l’égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Compte tenu de la définition de la racine du nième degré et du fait que m n n = a m, nous pouvons accepter la condition a m n = a m n si a m n est logique à des valeurs données de m, n et a.

Les propriétés ci-dessus du degré avec un entier seront vraies sous la condition a m n = a m n.

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante: le degré d’un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m / n est la racine du nième degré allant du nombre a au degré m. Cela est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n conserve son sens.

Ensuite, nous devons déterminer quel type de restrictions sur les valeurs des variables impose une telle condition. Il existe deux approches pour résoudre ce problème.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré: on prend a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives, strictement inférieur (puisque pour m ≤ 0 on obtient 0 m, et ce degré n'est pas défini). Dans ce cas, la détermination du degré avec un indice fractionnaire sera la suivante:

Un degré avec un exposant fractionnaire m / n pour un nombre positif a est la nième racine d'un élevé à la puissance de m. Sous la forme d'une formule, cela peut être représenté par:

Pour un degré de base zéro, cette position convient également, mais uniquement si son index est un nombre positif.

Un degré avec une base zéro et un m / n positif fractionnaire peut être exprimé par

0 m n = 0 m n = 0 sous la condition d'un tout positif m et d'un n naturel.

Avec un rapport négatif m n 0, le degré n’est pas déterminé, c’est-à-dire un tel enregistrement n'a pas de sens.

Notez un point. Depuis que nous avons introduit la condition que a est supérieur ou égal à zéro, nous avons abandonné certains cas.

L’expression a m n a parfois encore un sens pour certaines valeurs négatives de a et d’autres m. Ainsi, les entrées (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 sont correctes, dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à examiner séparément la racine a m n avec des indices pairs et impairs. Ensuite, nous devrons introduire une autre condition: le degré a, dans l’indice duquel vaut la fraction réduite, est considéré comme le degré de a, dans l’indice duquel correspond la fraction irréductible correspondante. Nous expliquerons plus tard pourquoi cette condition est pour nous et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons l’enregistrement a m · k n · k, nous pouvons le réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et m est positif, a est un nombre non négatif, alors a m n est logique. La condition de non négatif est nécessaire car la racine d'un pouvoir pair n'est pas extraite d'un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être négatif et nul, car Les degrés de degré impairs peuvent être extraits de n'importe quel nombre réel.

Combinez toutes les données ci-dessus définitions en un seul enregistrement:

Ici, m / n signifie une fraction irréductible, m est un entier quelconque et n est un entier positif.

Pour toute fraction réduite ordinaire m · k n · k, le degré peut être remplacé par un m n.

Le degré du nombre a avec un indice fractionnaire irréductible m / n peut être exprimé en tant que m n dans les cas suivants: - pour tout réel a, les valeurs entières positives de m et les valeurs naturelles impaires de n. Exemple: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- pour tout réel a non nul, des valeurs négatives entières de m et des valeurs impaires de n, par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- pour tout a non négatif, un nombre entier positif de m et même de n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- pour tout positif a, entier négatif m et même n, par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Dans le cas d'autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas défini. Exemples de tels degrés: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Expliquons maintenant l’importance de la condition évoquée ci-dessus: pourquoi remplacer une fraction à indice réduit par une fraction par une fraction irréductible. Si nous ne le faisions pas, alors nous aurions de telles situations, par exemple 6/10 = 3/5. Alors il devrait être vrai (- 1) 6 10 = - 1 3 5, mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, et (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

La détermination du degré avec un indice fractionnaire, que nous avons citée en premier lieu, est plus pratique à mettre en pratique que le second, nous l'utilisons donc davantage.

Ainsi, le degré d’un nombre positif a avec un indice fractionnaire m / n est défini par 0 m n = 0 m n = 0. Dans le cas de a négatif, l'entrée a m n n'a pas de sens. Le degré zéro pour les indicateurs fractionnaires positifs m / n est défini par 0 m n = 0 m n = 0; pour les indicateurs fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

Dans les conclusions, nous notons que nous pouvons écrire n’importe quel indice fractionnaire à la fois sous forme de nombre fractionnaire et sous forme de fraction décimale: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant par une fraction ordinaire, puis d'utiliser la définition de l'exposant avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, nous obtenons:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Qu'est-ce qu'un diplôme avec un indicateur irrationnel et valide?

Quels sont les vrais nombres? Leur ensemble comprend des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, pour comprendre ce qu'est un degré avec un indicateur valide, nous devons définir des degrés avec des indicateurs rationnels et irrationnels. À propos de rationnel, nous avons déjà mentionné ci-dessus. Nous allons traiter les indicateurs irrationnels étape par étape.

Supposons que nous avons un nombre irrationnel a et une suite de ses approximations décimales a 0, a 1, a 2,.... Par exemple, prenons la valeur a = 1, 67175331... alors

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

et ainsi de suite (les approximations étant elles-mêmes des nombres rationnels).

Des séquences d'approximations nous pouvons associer une suite de degrés a 0, a 1, a 2,.... Si nous nous rappelons que nous avons parlé plus haut de l'augmentation rationnelle des nombres, nous pouvons alors calculer les valeurs de ces degrés nous-mêmes.

Prenons par exemple a = 3, puis a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,... et ainsi de suite

La séquence de degrés peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur du degré c avec la base a et l'indice irrationnel a. En résumé: un degré avec un indice irrationnel de la forme 3 1, 67175331.. peut être réduit au nombre de 6, 27.

Le degré d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a est écrit sous la forme d'un a. Sa valeur est la limite de la séquence a a 0, a a 1, a a 2,... où un 0, un 1, un 2,... sont des approximations décimales consécutives du nombre irrationnel a. Un degré zéro base peut également être défini pour les indicateurs irrationnels positifs, avec 0 a = 0 Ainsi, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Et pour les négatifs, cela ne peut pas être fait, car, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité élevée à un degré irrationnel reste une unité, par exemple, et 1 2, 1 5 à 2 et 1 à 5 seront égaux à 1.